Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．

（1）求证：BD=DE+CE；
（2）若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何，请证明；
（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABD和△CAE中，
∵∠CAD+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAD=∠ABD．
又∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC，∴△ABD≌△CAE．（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．又AE=AD+DE，∴AE=DE+CE，即BD=DE+CE
（2）解：BD=DE﹣CE．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．又∵BD⊥DE，∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE．又AB=AC，∠ADB=∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA．∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD，即 BD=DE﹣CE
（3）解：同理：BD=DE﹣CE
【解析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，则结论可得；（2）关系是：BD=DE﹣CE，证明方法同（1）；（3）同理：BD=DE﹣CE。