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【题目】已知反比例函数y=
的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）
（1）若A（4，n）和B（n+
，3），求反比例函数的表达式；
（2）若m=1，
①当x2=1时，直接写出y1的取值范围；
②当x1＜x2＜0，p=
，q=
，试判断p，q的大小关系，并说明理由；
（3）若过A、B两点的直线y=x+2与y轴交于点C，连接BO，记△COB的面积为S，当＜S＜1，求m的取值范围．
【答案】（1）y=
；（2）①当0＜x1＜1时，y1＞1，当x1＜0时，y1＜0；②p＜q，见解析；（3）
＜m＜3或-1＜m＜-
【解析】
（1）将点A，B的坐标代入反比例函数解析式中，联立方程组即可得出结论；
（2）先得出反比例函数解析式，
①先得出x1=
，再分两种情况讨论即可得出结论；
②先表示出y1=
，y2=
，进而得出p=
，最后用作差法，即可得出结论；
（3）先用m表示出x2=-1+
，再求出点C坐标，进而用x2表示出S，再分两种情况用
＜S＜1确定出x2的范围，即可得出-1+的范围，即可得出m的范围．
解：（1）∵A（4，n）和B（n+，3）在反比例函数y=
的图象上，
∴4n=3（n+）=m，
∴n=1，m=4，
∴反比例函数的表达式为y=
；
（2）∵m=1，
∴反比例函数的表达式为y=
，
①如图1，∵B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，
∴y2=1，
∴B（1，1），
∵A（x1，y1）在反比例函数y=的图象上，
∴y1=
，
∴x1=
，
∵x1＜x2，x2=1，
∴x1＜1，
当0＜x1＜1时，y1＞1，
当x1＜0时，y1＜0；
②p＜q，理由：∵反比例函数y=的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），
∴y1=，y2=
，
∴p=
=
=
，
∵q=
，
∴p-q=-=
=
，
∵x1＜x2＜0，
∴（x1+x2）2＞0，x1x2＞0，x1+x2＜0，
∴＜0，
∴p-q＜0，
∴p＜q；
（3）∵点B（x2，y2）在直线AB：y=x+2上，也在在反比例函数y=
的图象上，
∴
，解得，x=-1
，
∵x1＜x2，
∴x2=-1+
∵直线AB：y=x+2与y轴相交于点C，
∴C（0，2），
当m＞0时，如图2，
∵A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2），
∴点B的横坐标大于0，
即：x2＞0
∴S=
OCx2=×2×x2=x2，
∵＜S＜1，
∴＜x2＜1，
∴＜-1+＜1，
∴
＜m＜3；
当m＜0时，如图3，∵A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2），
∴点B的横坐标小于0，
即：x2＜0
∴S=OC|x2|=-×2×x2=-x2，
∵＜S＜1，
∴＜-x2＜1，
∴-1＜x2＜-，
∴-1＜-1+＜-，
∴-1＜m＜-，
即：当＜S＜1时，m的取值范围为＜m＜3或-1＜m＜-．
