Question

【题目】已知反比例函数y=的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）

（1）若A（4，n）和B（n+，3），求反比例函数的表达式；

（2）若m=1，

①当x2=1时，直接写出y1的取值范围；

②当x1＜x2＜0，p=，q=，试判断p，q的大小关系，并说明理由；

（3）若过A、B两点的直线y=x+2与y轴交于点C，连接BO，记△COB的面积为S，当＜S＜1，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）①当0＜x1＜1时，y1＞1，当x1＜0时，y1＜0；②p＜q，见解析；（3）＜m＜3或-1＜m＜-

【解析】

（1）将点A，B的坐标代入反比例函数解析式中，联立方程组即可得出结论；

（2）先得出反比例函数解析式，

①先得出x1=，再分两种情况讨论即可得出结论；

②先表示出y1=，y2=，进而得出p=，最后用作差法，即可得出结论；

（3）先用m表示出x2=-1+，再求出点C坐标，进而用x2表示出S，再分两种情况用＜S＜1确定出x2的范围，即可得出-1+的范围，即可得出m的范围．

解：（1）∵A（4，n）和B（n+，3）在反比例函数y=的图象上，

∴4n=3（n+）=m，

∴n=1，m=4，

∴反比例函数的表达式为y=；

（2）∵m=1，

∴反比例函数的表达式为y=，

①如图1，∵B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，

∴y2=1，

∴B（1，1），

∵A（x1，y1）在反比例函数y=的图象上，

∴y1=，

∴x1=，

∵x1＜x2，x2=1，

∴x1＜1，

当0＜x1＜1时，y1＞1，

当x1＜0时，y1＜0；

②p＜q，理由：∵反比例函数y=的图象经过点A（x1，y1）和B（x2，y2），

∴y1=，y2=，

∴p===，

∵q=，

∴p-q=-==，

∵x1＜x2＜0，

∴（x1+x2）2＞0，x1x2＞0，x1+x2＜0，

∴＜0，

∴p-q＜0，

∴p＜q；

（3）∵点B（x2，y2）在直线AB：y=x+2上，也在在反比例函数y=的图象上，

∴，解得，x=-1，

∵x1＜x2，

∴x2=-1+

∵直线AB：y=x+2与y轴相交于点C，

∴C（0，2），

当m＞0时，如图2，

∵A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2），

∴点B的横坐标大于0，

即：x2＞0

∴S=OCx2=×2×x2=x2，

∵＜S＜1，

∴＜x2＜1，

∴＜-1+＜1，

∴＜m＜3；

当m＜0时，如图3，∵A（x1，y1）和B（x2，y2）（x1＜x2），

∴点B的横坐标小于0，

即：x2＜0

∴S=OC|x2|=-×2×x2=-x2，

∵＜S＜1，

∴＜-x2＜1，

∴-1＜x2＜-，

∴-1＜-1+＜-，

∴-1＜m＜-，

即：当＜S＜1时，m的取值范围为＜m＜3或-1＜m＜-．