Question

【题目】如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O直径，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵D点在⊙O上，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD= BC=2，BD=BCcos30°=2 ，

∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，

∴S△ABC= ABCD= ×4 ×2=4 ，

∵DE⊥AC，

∴DE= AD= ×2 = ，

AE=ADcos30°=3，

∴S△ODE= ODDE= ×2× = ，

S△ADE= AEDE= × ×3= ，

∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，

∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4 ﹣ ﹣ ﹣ = ．

【解析】（1）证DE为⊙O的切线，就得证DE垂直过D点的半径，为此连接OD、CD，可证出OD是△ABC的中位线可得OD∥AC，由已知可得证；
（2）结合图形可知，S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE，所以先求出S△ABC、S△BOD、S△ODE、S△ADE，为此利用三角函数的性质求出BD、DE、AE的长，继而求得答案.