Question

【题目】（模型建立）

（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．

求证：△BEC≌△CDA；

（模型应用）

（2）① 已知直线l1：y＝x＋8与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；

② 如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，－6），点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y＝－3x＋6上的动点且在y轴的右侧．若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①y=-7x-42；② (2,0）或（5，-9）

【解析】

（1）根据△ABC为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；

（2）①过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD=AO=6，CD=OB=8，求得C（-8，14），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；②根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y=-3x+6上的动点且在y轴的右侧时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部或边上时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，-3x+6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE=DF，据此列出方程进行求解即可．

解：（1）证明：如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，

∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1：y＝x＋8中，若y=0，则x=-6；若x=0，则y=8，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴BD=AO=6，CD=OB=8，
∴OD=8+6=14，
∴C（-8，14），
设l2的解析式为y=kx+b，则

解得

∴l2的解析式：y=-7x-42；

②D（2，0），（5，-9）
理由：当点D是直线y=-3x+6上的动点且在y轴右侧时时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部或边上时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，

设D（x，-3x+6），则OE=3x-6，AE=6-（3x-6）=12-3x，DF=EF-DE=8-x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF=AE，
即：12-3x=8-x，
解得2x=4，x=2，
∴-3x+6=0，
∴D（2，0），即点D为直线y=-3x+6与x轴交点，
此时，PF（PC）=ED（OD）=2，AO=6=CD，符合题意；

准确图形如下：

当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，

设D（x，-3x+6），则OE=3x-6，AE=OE-OA=3x-6-6=3x-12，DF=EF-DE=8-x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE=DF，
即：3x-12=8-x，
解得x=5，
∴-3x+6=-9，
∴D（5，-9），
此时，ED=PF=5，AE=BF=DF=3，BP=PF-BF=5-3=2 ＜6，点P在线段BC上，符合题意．