Question

【题目】（1）如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.

（2）如图a，在△ABC中, ∠ACB=，∠A=，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.

（3）如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）BC=BF+CE，证明见解析；（3）BC=BF+CE，证明见解析.

【解析】

（1）以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点即可；

（2）在BC上截取BD=BF，首先证明△BFO≌△BDO，创造条件证明△COE≌△COD即可；
（3）在BC上截取BF'=BF，首先证明△BFO≌△BF'O，创造条件证明△COE≌△COF'即可．

（1）以点A为圆心，以AB长为半径画弧交AD于一点，则此点为所要求的点P.

（2）线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .

在BC上截取BD=BF.

在△BFO和△BDO中

∴△BFO≌△BDO

∴∠BOF=∠BOD

∵∠A=，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.

∴∠BOC=180О－∠ABC－∠ACB=180－60=120

∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180－120 =60.

∠COD=∠BOC－∠BOD=120－60=60

在△COE和△COD中

∴△COE≌△COD

∴CE=CD

∴BC=BF+CE .

（3）线段BC、BF、CE之间的关系为：BC=BF+CE .

在BC上截取BF'=BF.

在△BFO和△BF'O中

∴△BFO≌△BF'O

∴∠BOF=∠BOF'

∵∠A=60，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.

∴∠BOC=180О－∠ABC－∠ACB=180－60=120

∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180－120=60.

∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120－60 =60

在△COE和△COF'中

∴△COE≌△COF'

∴CE=CF'

∴BC=BF+CE .