Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为D．连接BD，交OC于点E．
（1）求证：∠CDE=∠CED；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，切点为D．

∴∠ODC=90°，

∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，

∵OC⊥AB，

∴∠CED=∠OEB=90°﹣∠B，

∵∠CDE=90°﹣∠ODB，

∴∠CDE=∠CED；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=13，

∴OB= ，

∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，

∴△ABD∽△EBO，

∴ ．

∴ ，

∴EB= ，

∴DE=BD﹣EB= ．

【解析】（1）连接OD，利用切线的性质和圆的半径相等得到的等腰三角形即可证明∠CDE=∠CED；（2）连接AD，利用圆周角定理和已知条件证明△ABD∽△EBO，利用相似三角形的性质即可求出EB的长，进而求出DE的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．