Question

【题目】菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别是BC,CD上的两个动点，且始终保持∠AEF=60°.

（1）试判断△AEF的形状并说明理由；

（2）若菱形的边长为2,求△ECF周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）△AEF是等边三角形，理由详见解析；（2）2+

【解析】

（1）先根据四边形ABCD是菱形判断出△ABC的形状，再由ASA定理得出△AGE≌△ECF，故可得出AE＝AF，由此可得出结论；
（2）根据垂线段最短可知当AE⊥BC时△ECF周长最小，由直角三角形的性质求出AE的长，故可得出结论．

解：（1）△AEF是等边三角形，理由是：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC

∵∠B＝60°．

∴△ABC是等边三角形，

在AB上截取BG=BE，则△BGE是等边三角形

∴AG=AB-BG=BC-BE=EC，

∵∠AEC＝∠BAE＋∠B＝∠AEF+∠FEC，又因为∠B=∠AEF=60°

∴∠BAE＝∠CEF．

在△AGE与△ECF中，

∠AGE＝∠ECF=120°，AG=EC,∠GAE=∠CEF

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．

∵∠AEF＝60°，

∴△AEF是等边三角形．

（2）由（1）知△AEF是等边三角形，△AGE≌△ECF

所以CF=GE=BE,CF+EC=BC=定值=2

∵垂线段最短，

∴当AE⊥BC时，AE=EF最小，此时△ECF周长最小、

∵BC＝2，∠B＝60°，

∴AE＝，

△ECF周长的最小值＝2+.