Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

（1）求证：△AEF≌△DEB;

（2）求证：四边形ADCF是菱形.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；

证明：（1）∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DBE

∵E是AD中点，

∴AE＝DE

在△AEF和DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS）

　　　　　　（2）在Rt△ABC中，D是BC的中点，

　　　　　　　　所以，AD＝BD＝CD

　　　　　　　　又AF∥DB，且AF＝DB，

　　　　　　　　所以，AF∥DC，且AF＝DC，

所以，四边形ADCF是菱形.