Question

【题目】如图，在中，，AD、BD、CD分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有__.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC,∠EAC=2∠EAD,∠ACF

=2∠DCF,根据三角形的内角和定理得出∠BAC+ABC+∠ACB=180°,根据三角形

外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠EAC=∠ABC+∠ACB,根据已知结论逐步推理

即可判断各项

①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正确。

②由(1)可知AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

故②错误。

③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，

∴∠ADC+∠ABD=90°

故③正确；

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC,

∵∠ADB=∠DBC,

∴∠ADB=∠DBC,

∵∠DCF=90°- ∠ABC=90°-∠BDC=∠DBC+∠BDC

∵∠ABC=90°-∠BDC=∠DBC+∠BDC,

∴∠BDC=90°-2∠DBC,

∠DBC=45°-∠BDC,④正确

故选:①③④.