【题目】如图，P是正方形ABCD对角线BD上的一动点不与B、D重合，，，垂足分别为E、F．

求证：四边形AFPE为矩形；

求证：；

当EF取最小值时，判断四边形APEF是怎样的四边形？证明你的结论．

参考答案：

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

(1)由三个角是直角的四边形是矩形可判断四边形AFPE为矩形；

(2)由矩形的性质和正方形的性质可得AP=CP=EF；

(3)当AP⊥BD时，EF取最小值，由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得PE=PF，可得四边形AFPE是正方形．

四边形ABCD是正方形，

，且，，

四边形AFPE为矩形；

如图，连接AC，AP，

四边形ABCD是正方形，

垂直平分AC，

，

四边形AFPE为矩形，

，

；

四边形AFPE是正方形，理由如下：

如图，当时，EF取最小值，

四边形ABCD是正方形，

，，

又，

，且，，

，且四边形AFPE是矩形，

四边形AFPE是正方形.

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