Question

【题目】如图1，已知点E和点F分别在直线AB和CD上，EL和FG分别平分∠BEF和∠EFC，EL∥FG.

(1)求证：AB∥CD；

(2)如图，点M为FD上一点，∠BEM，∠EFD的角平分线EH，FH相交于点H，若∠H=∠FEM+15°，延长HE交FG于G点，求∠G的度数；

(3)如图，点N在直线AB和直线CD之间，且EN⊥FN，点P为直线AB上的点，若∠EPF，∠PFN的角平分级交于点Q，设∠BEN=α，直接写出∠PQF的大小为(用含α的式子表示).

Answer 1

【答案】(1)见解析； (2)∠G=25°；(3) 135°-或135°+.

【解析】

（1）首先根据角平分线可得∠BEL=∠FEL，∠CFG=∠EFG，再根据EL∥FG，结合可证明∠CFE=∠BEF，进而证明AB∥CD.

（2）根据设元导角结合平行线的性质即可求得∠G.

（3）首先根据题意要分类讨论，第一种情况当点P在E点左侧；第二种情况当点P在EH之间；第三种情况当点P在H点右侧.

(1)证明：

∵EL和FG分别平分∠BEF和∠EFC

∴∠BEL=∠FEL，∠CFG=∠EFG

又∵EL∥FG

∴∠EFG=∠FEL

∴∠CFG=∠EFG=∠FEL=∠BEL，

∠CFG+∠EFG=∠FEL+∠BEL

即∠CFE=∠BEF

∴AB∥CD

(2)提示：(注意：模型和△导角均需通过平行线导角进一步证明)

如图设元导角

臭脚模型：∠G=∠BEG-∠DFG

=180°-α-(90°+β)

=90°-(α+β)

猪蹄模型：∠H=α+β

∵AB∥CD

∴2α+∠FEM+∠B=180°

∴∠FEM=180°-2β-2a

∵∠H=∠FEM+15°

∴a+β=180×-2β-2α+15°

解得，α+β=65°

∴∠G=90°-(α+β)=25°

(3) 135°-或135°+

延长FN交直线AB于H点.

①当点P在E点左侧时，如图设元导角△PQF内角和：

∠PQF=180°-x-y

猪蹄模型：

∠DFN=∠N-∠BEN=90°-α

∵AB∥CD

∴2x+2y+90°-α=180°

∴x+y=45°+

∴∠PQF=180°-(45°+)=135°-

②当点P在EH之间时，如图，此时点Q在CEPF的角平分线的反向延长线与∠PFN的角平分线交点处，不合题意，舍去。

③当点P在H点右侧时，如图设元导角

△PQF内角和：

∠PQF=180°-x-y

∵AB∥CD

∴∠APF=∠DFP=2x

猪蹄模型：α+2y+2x=90°

∴x+y=45°-

∴∠PQF=180°-(45°-)=135°+

综上：∠PQF=135°-或135+