Question

【题目】如图，点B（0，b），点A（a，0）分别在y轴、x轴正半轴上，且满足 +（b2﹣16）2=0．

（1）求A、B两点的坐标，∠OAB的度数；
（2）如图1，已知H（0，1），在第一象限内存在点G，HG交AB于E，使BE为△BHG的中线，且S△BHE=3，
①求点E到BH的距离；
②求点G的坐标；
（3）如图2，C，D是y轴上两点，且BC=OD，连接AD，过点O作MN⊥AD于点N，交直线AB于点M，连接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +（b2﹣16）2=0，

∴a﹣b=0，b2﹣16=0，

解得：b=4，a=4或b=﹣4，a=﹣4，

∵A点在x轴正半轴，B点在y轴正半轴上，

∴b=4，a=4，

∴A（4，0），B（0，4），

∴OA=OB=4，

∴∠OAB=45°

（2）解：①如图1，作EF⊥y轴于F，

∵B（0，4），H（0，1），

∴BH=OB﹣OH=4﹣1=3，

∵OA=OB=4，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴△BFE为等腰直角三角形，

∴BF=EF=2，

∴OF=OB﹣BF=4﹣1=3，

∴E（2，3），

∴E（2，3）为GH的中点，

∵S△BHE=3，

∴ BH×EF=3，即 ×3×EF=3，

∴EF=2，

故点E到BH的距离为2．

②设G（m，n），则

∵BE为△BHG的中线，

∴ ， ，

解得m=4，n=5，

∴G点坐标为（4，5）

（3）解：如图2，过点B作BK⊥OC，交MN于点K，则∠KBO=∠DOA，

∵MN⊥AD，

∴∠DON+∠NOA=90°，

∴∠3+∠NOA=90°，

∵∠NOA+∠1=90°，

∴∠3=∠1，

在△KOB和△OAD中，

，

∴△KOB≌△OAD（ASA），

∴KB=OD，∠2=∠7，

∵BC=OD，

∴KB=BC，

∵OB=OA，∠BOA=90°，

∴∠OBA=45°，

∴∠9=∠8=45°，

在△MKB和△MCB中，

，

∴△MKB≌△MCB（SAS），

∴∠6=∠5，

∵∠7+∠6=180°，

∴∠2+∠5=180°，即∠ADO+∠BCM=180°．

【解析】（1）根据非负数的性质，得出关于a、b的方程组，求得a、b即可得到A、B两点的坐标，最后利用等腰三角形的性质得出∠OAB的度数；（2）作EF⊥y轴于F，构造等腰直角三角形BEF，进而求出E点坐标，利用△BHE的面积即可得到点E到BH的距离；设G（m，n），根据BE为△BHG的中线，求得点G坐标即可；（3）过点B作BK⊥OC，交MN于点K，然后证明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，从而可证明∠ADO+∠BCM=180°．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和三角形的面积是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；三角形的面积=1/2×底×高．