Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴， 轴分别交于点A、B，抛物线经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；

（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；

（2）t的值为或；

（3）t的值为或或；

（4）符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.

【解析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.

解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知，解得，

∴.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①当△ADE∽△AOB时， ，∴，∴；

②当△AED∽△AOB时， ，∴，∴；

综上所述，t的值为或.

(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴；

②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=，∴，∴；

③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=，∴，∴；

综上所述，t的值为或或.

(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴，求得x=4，∴F（4，8）；

②当AD为对角线时，则，∴，解得，∵x﹥0，∴，∴.

综上所述，符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.

“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．