Question

【题目】在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 ：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．
（1）如图①，求证：BA=BP；

（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求 的值；

（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵PC=AD=BC=a，

∴PB= = a，

∴BA=BP

（2）

解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．

设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，

∴CQ=CQ′= a﹣a，

∵CQ′//AB，

∴ = = =

（3）

证明：如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，

∵S△MNT= THCK+ THBK= HT（KC+KB）= HTBC= HT，

∵TH//AB//FM，TF=TB，

∴HM=HN，

∴HT= （FM+BN），

∵BN=PM，

∴HT= （FM+PM）= PF= （1+ ﹣1）= ，

∴S△MNT= HT= =定值

【解析】（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．通过计算得出AB=BP= a，由此即可证明；（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′//AB，推出 = = = ；（3）如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT= THCK+ THBK= HT（KC+KB）= HTBC= HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；