Question

【题目】如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数y= （x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、C两点的坐标分别为（a， ）、（c， ），其中a＞c＞0．
（1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP；

（2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值；

（3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由题意可知P（c， ），E（0， ），D（c，0），

∴PA=a﹣c，EP=c，PC= ﹣ = ，DP= ，

∴ = = ，且∠EPD=∠APC，

∴△EPD∽△CPA，

∴∠EDP=∠ACP

（2）

如图1，连接AD、EC，

由（1）可知DE//AC，

∴∠DEC+∠ECA=180°，

∵A、D、E、C四点在同圆周上，

∴∠DEC+∠DAC=180°，

∴∠ECA=∠DAC，

在△AEC和△CDA中

∴△AEC≌△CDA（AAS），

∴CD=AE，即a= ，可得ac=4，

∵A、C在直线l上，

∴ ，解得k= =﹣ =﹣1

（3）

假设在线段AT上存在点M，使OM⊥AM，连接OM、OA，作MN⊥x轴于点N，如图2，

∵c=1，

∴C（1，4），F（0，4），P（1， ），B（a，0），

设直线BF的解析式为y=k′x+4，由题意可得 ，解得a=2，

∴A（2，2），

∴AP为△DCT的中位线，

∴T（3，0），

∴AT= =

∵S△OAT= OTAB= ATOM，

∴OM= = = ，

在Rt△OMT中，MT= = = ，

同理可求得MN= = ，

在Rt△OMN中，ON= = = ，

∵2＜ ＜3，

∴点M在线段AT上，

即在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，M点的坐标为（ ， ）

【解析】（1）由P、E、D的坐标可表示出PA、EP、PC和DP的长，可证明△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性质可证得结论；（2）连接AD、EC，可证明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐标代入直线l解析式，可求得k的值；（3）假设在线段AT上存在点M，使得OM⊥AM，连接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐标，利用直线BF的解析式可求得a的值，可求得A点坐标，可求得T点坐标，在△OAT中，利用等积法可求得OM的长，在RtOMT中可求得MT的长，作MN⊥x轴，同理可求得MN的长，则可求得ON的长，可判断N在线段BT上，满足条件，从而可知存在满足条件的M点．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小．