Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

(1)求证：AE⊥BF；

(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的边长为4时，直接写出四边形GHMN的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；

（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QP求解；

（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S△AGN=，再利用S四边形GHMN=S△AHM-S△AGN求解．

试题解析：(1)∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，

∴CF=BE，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF ∴∠BAE=∠CBF

又∵∠BAE+∠BEA=900，∴∠CBF+∠BEA=900，

∴∠BGE=900， ∴AE⊥BF

(2)根据题意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=900，

∵CD∥AB, ∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB

令PF=k（k>O），则PB=2k，

在Rt△BPQ中，设QB=x， ∴x2=(x－k)2+4k2, ∴x=k，

∴sin∠BQP=

(3) 四边形GHMN的面积是.