Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，OA=12，OC=9，连接AC．

（1）填空：点A的坐标：　 　；点B的坐标：　 　；

（2）若CD平分∠ACO，交x轴于D，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，经过点D的直线交直线BC于E，当△CDE为以CD为底的等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（12，0），（12，9）；（2）D（，0）；（3）E（，9）．

【解析】

（1）根据矩形的性质即可解决问题；

（2）如图1中，作DM⊥AC于M．由Rt△CDO≌Rt△CDM（HL），推出CM=OC=9，由AC==15，推出AM=6，设OD=DM=m，在Rt△ADM中，根据AD2=DM2+AM2，构建方程即可解决问题；

（3）如图2中，作线段CD的中垂线EF，垂足为F，交BC 于E，则EC=ED，△ECD是以CD为底的等腰三角形．想办法求出直线EF的解析式即可解决问题；

解：（1）∵四边形OABC是矩形，

∴AB=OC=9，BC=OA=12，

∴A（12，0），B（12，9），

故答案为（12，0），（12，9）；

（2）如图1中，作DM⊥AC于M．

∵DC平分∠ACO，DO⊥CO，DM⊥AC，

∴DO=DM，∠COD=∠CMD=90°，

∵CD=CD，

∴Rt△CDO≌△Rt△CDM（HL），

∴CM=OC=9，

∵AC==15，

∴AM=6，设OD=DM=m，

在Rt△ADM中，∵AD2=DM2+AM2，

∴x2+62=（12﹣x）2，

解得x=，

∴D（，0）．

（3）如图2中，作线段CD的中垂线EF，垂足为F，交BC 于E，则EC=ED，△ECD是以CD为底的等腰三角形．

∵C（0，9），D（，0），

∴直线CD的解析式为y=﹣2x+9，

∴F（ ，），

∴直线EF的解析式为y=x+ ，

当y=9时，x= ，

∴E（，9）．