Question

【题目】如图，已知动点A在函数 的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x，y轴分别于点P，Q．当QE：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：

解法一：过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．
令A（t， ），则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE= = = = ．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE= ，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP= ．
又∵QE：DP=4：9，
∴ ： =4：9，
解得t2= ．
∴图中阴影部分的面积= AC2+ AB2= t2+ × = +3= ；
解法二：∵QE：DP=4：9，
∴EF：PG=4：9，
设EF=4t，则PG=9t，
∴A（4t， ），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=4t，AD= ，DG= ，GP=9t，
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t： = ：9t，即t2= ，
图中阴影部分的面积= ×4t×4t+ × × = ．
所以答案是： ．
【考点精析】利用反比例函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．