Question

【题目】如图，等腰中，，．动点在上以每分钟5个单位长度的速度从点出发向点移动，过作交边于点，连结、．设点移动的时间为．

（1）求、两点的坐标；

（2）计算：当面积最大时，的值；

（3）在（2）的条件下，边上是否还存在一个点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(0，6)，B(-8，0)；（2）当t=1时，△EFO的面积达到最大值；（3）存在满足条件的D点，其坐标为（－3，0）

【解析】

（1）先根据题意得出AC两点的坐标，再设BO=x，由勾股定理求出x的值，进而可得出B点坐标；
（2）过F点作FK⊥BC于K，设F点移动的时间为t，证明△AFE∽△ABC，利用相似的性质得出EF=10－5t，从而得到S△EFO=－ (t－2)t，从而得出结果；

（3）在（2）的条件下，E、F分别是AC、AB的中点，若使D为BC的中点时，，再由可知FO=ED，EO=FD，EF=FE，故△EFD≌△FEO，从而可得出D点坐标.

解：（1）∵CO=2，

∴C（2，0），

又∵AO=3OC=6，

∴A(0，6)，

可设BO=x，且x＞0，

则：BC2=（2＋x）2，AB2=AO2＋OB2=36＋x2，

又∵BC=AB，

∴（2＋x）2=36＋x2，

解得：x=8，

∴B(－8，0)；

（2）过F点作FK⊥BC于K，

可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，

则：BF=5t，TO=FK=3t；

∴AT=6－3t，

又∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

而AO⊥BC交EF于T，

则：=，

∴=，即：EF=10－5t，

故：S△EFO=EF×TO= （10－5t）×3t，

即：S△EFO=－ （t－2）t，

∴当t=1时，△EFO的面积达到最大值；

（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，

若使D为BC的中点时，

，

又∵，

∴FO=ED，EO=FD，EF=FE，

在△EFD和△FEO中，

，

则△EFD≌△FEO（SSS），

∵B（-8，0），C（2，0），

∴D（-3，0），

故：存在满足条件的D点，其坐标为（-3，0）．