Question

【题目】（1）如图①，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，BF AG 于点 F，DE AG于点 E，探究 BF，DE，EF 之间的数量关系．第一学习小组合作探究后，得到DE–BF= EF，请证明这个结论；

（2）若（1）中的点 G 在 CB 的延长线上，其余条件不变，请在图②中画出图形，并直接写出此时 BF，DE，EF 之间的数量关系；

（3）如图 ③ ，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AB=AD，E ，F 是AC 上的两点，且满足∠AED=∠BFA=∠BCD．试判断 AC，DE，BF 之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=BF+DE；（3）AC=BF+DE，证明见解析

【解析】（1）∵正方形ABCD，BF⊥AG，DE⊥AG

∴ AB=AD，

∠BAF+∠DAE=∠BAF+∠ABF=∠AFB=∠DEA=900

∴∠DAE=∠ABF

∴△ADE≌△BAF

∴BF=AE，AF=DE

∴ EF= AF –AE = DE– BF

（2）作图如图所示

EF=BF+DE

（3）∵ 四边形ABCD内接于圆

∴ ∠BCD+∠BAD=1800

∵ ∠AED=∠BCD，∠AED+∠DEC=1800

∴∠BAD=∠DEC

∵ ∠BAD=∠1+∠2，∠DEC=∠1+∠3

∴∠2=∠3

∵∠AED=∠BFA，AB=AD

∴ △ADE≌△BAF

∴ AE=BF，DE=AF

连接BD

∵∠AED=∠BCD，∠1=∠DBC

∴∠3=∠4

∴∠ADB=∠EDC

∵AB=AD

∴∠ADB=∠ABD=∠ACD

∴ ∠EDC=∠ACD

∴ DE=CE=AF

∴ AC=AE+CE=BF+DE