Question

【题目】如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系呢？

（1）通过观察、实验提出猜想：∠ACB与∠ABC的数量关系，用等式表示为： ．

（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：如图2，延长AC到F，使CF=CD，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

想法2：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．

请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中∠ACB与∠ABC的数量关系（一种方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB=2∠ABC；（2）答案见解析

【解析】（1）根据已知条件并通过观察、比较、测量、证明等方法即可猜想出结论；

（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质及三角形的外角即可得到结论．

解：（1）∠ACB=2∠ABC

（2）想法1：

∵ AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF=AC+CF，且CD=CF，

∴AF=AC+CD，

又∵AB=AC+CD，

∴AB=AF，

又∵AD=AD，

∴△ABD≌△AFD，

∴∠B=∠F，

∵CD=CF，

∴∠F=∠CDF，

又∵∠ACB＝∠F+∠CDF，

∴∠ACB＝2∠F，

∴∠ACB＝2∠B.

想法2：

∵ AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

又∵AC=AE，AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴ED=CD，∠C＝∠AED，

又∵AB=AC+CD，AB=AE+BE，AE=AC，

∴CD=BE，

∴DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

又∵∠AED＝∠B+∠EDB，

∴∠AED＝2∠B，

又∵∠C＝∠AED，

∴∠C＝2∠B.