Question

【题目】[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A， B，C三点的圆上吗？

我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在圆O外，要么在圆O内，以下该同学的想法说明了点D不在圆O外。

请结合图④证明点D也不在⊙O内.

[结论]综上可得结论：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：点A、B、C、D四点共圆。

[应用]利用上述结论解决问题：

如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转一个角度得△ADE，连接BE CD，延长CD交BE于点F，

（1）求证：点B、C、A、F四点共圆；

（2）求证：BF=EF.

图⑤

Answer 1

【答案】【思考】证明见解析；【应用】（1证明见解析；（2）证明见解析

【解析】试题分析：【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；

[应用]

（1）由旋转的性质可得∠ACD=∠ABE，故B、C、A、F四点共圆，

（2）由圆内接四边形的性质得∠BCA+∠BFA=180°即可证明．

【思考】

【证】如图，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE；则∠AEB=∠ACB

∵∠ADB是△DBE的一个外角

∴∠ADB＞∠AEB

∴∠ADB＞∠ACB

这与条件∠ACB=∠ADB矛盾

∴点D不在⊙O内

【应用】【证】（1）∵AC=AD，AB=AE，

∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，

∵∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE，

∵2∠ACD+∠CAD=180°，2∠ABE+∠BAE=180°，

∴∠ACD=∠ABE，

∴B、C、A、F四点共圆，

（2）∵B、C、A、F四点共圆，

∴∠BFA+∠BCA=180°，

∵∠ACB=90°，∴∠BFA=90°，

∴AF⊥BE，

∵AB=AE，

∴BF=EF．