Question

【题目】已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.

（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;

（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）CD=AF+BE.（2）（1）中的结论仍然成立.证明见解析.

【解析】试题分析：(1)、利用截长补短法可以得出线段之间的关系；(2)、延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，根据平行四边形的性质得出△ABE和△DAG全等，从而得出DG=AB，根据角度之间的关系得出DG=GF，即CD=GF=AF+AG=AF+BE得出答案．

试题解析：(1)、CD=AF+BE．

(2)、解：（1）中的结论仍然成立．

证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，

∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD，AD=BC，

∵ AE⊥BC于点E， ∴ ∠AEB=∠AEC=90， ∴∠AEB=∠DAG=90， ∴ ∠DAG=90，

∵ AE=AD， ∴ △ABE≌△DAG， ∴∠1=∠2， DG=AB， ∴∠GFD=90-∠3，

∵ DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4，

∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3， ∴∠GDF=∠GFD，∴ DG=GF.

∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE， 即 CD = AF +BE．