Question

【题目】小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）x=180；（2）y=12cm；（3）

【解析】

试题分析：（1）设灯泡的位置为点P，易得△PAD∽△PA′D′，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；

（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和；

（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．

解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，

∵AD∥A′D′，

∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．

∴△PAD∽△PA′D′．

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，

∴=，

解得x=180．（4分）

（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，

同理可得∴=，

解得y=12cm；（3分）

（3）记灯泡为点P，如图：

∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．

∴△PAD∽△PA′D′．

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）

（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）

设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，

∴=1﹣

=1﹣

x=（1分）．