Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．

（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）若 ，求⊙O的半径。

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90° 即AD是底边BC上的高．

又∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴D是BC的中点

（2）证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；

（3）证明：由△BEC∽△ADC得： ， 即CD·BC=AC·CE．
∵D是BC的中点，
∴CD= BC．
又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= BC ·BC=AB·CE 即BC =2AB·CE=12
∴AB=6
∴⊙O的半径为3

【解析】（1）由AB是⊙O的直径，证出AD是底边BC上的高．根据等腰三角形三线合一的性质得出结论。
（2）根据同弧所对的圆周角相等，得出∠CBE=∠CAD，再根据两组角对应相等的两三角形相似。
（3）由△BEC∽△ADC得出对应边成比例，即可求出圆的半径。
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和圆周角定理的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．