Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠C=90°，直线l过C点.

(1)如图1，过A点、B点作直线l的垂线段AD、BE，垂足为D、E，请你探究AD、BE、DE满足的数量关系，并进行证明；

(2)当直线l绕点C旋转到如图2所示的位置时，请直接写出AD、BE和DE的数量关系(不用证明)

Answer 1

【答案】(1)DE=AD+BE，证明见解析；(2)DE=BEAD.

【解析】试题分析：（1）证△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得出DC=EB，AD=CE，再结合DE=DC+CE即可得出DE=AD+BE；（2）同理得出△ACD≌△CBE，由全等三角形的性质可得出DC=EB，AD=CE，再结合DE=DC-CE即可得出DE=BE-AD．

解：(1)DE=AD+BE，证明：

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴AC=BC.

∵∠ACB=90°，AD⊥直线l,

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠CAD=∠BCE.

在△ACD和△CBE中,∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD=∠BCE，AC=CB,

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴DC=EB，AD=CE，

∴DE=DC+CE=AD+BE.

(2)DE=BEAD. 证明：

同（1）可证出△ACD≌△CBE，

∴DC=EB，AD=CE，
∴DE=DC-CE=BE-AD．