Question

【题目】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：△ABC≌△EAF；
（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．

又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．

在△ABC和△EAF中 ，

∴△ABC≌△EAF．

（2）解：结论：四边形EFDA是平行四边形．

理由：∵△ABC≌△EAF，

∴EF=AC．

∵△ACD是的等边三角形，

∴AC=AD，∠CAD=60°，

∴AD=EF．

又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

∴∠EFA=∠BAD=90°，

∴EF∥AD．

又∵EF=AD，

∴四边形EFDA是平行四边形

【解析】（1）由△ABE是等边三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EAF即可；（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD，然互再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，证得∠EFA=∠BAD=90°是解题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)．