Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OE．

∵BE⊥EF，

∴∠BEF=90°，

∴BF是圆O的直径．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）证明：如图，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE与△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF

（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，

∴HF=1，

在Rt△HFE中，EF= = ，

∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°，

∴∠EHF=∠BEF=90°，

∵∠EFH=∠BFE，

∴△EHF∽△BEF，

∴ = ，即 = ，

∴BF=10，

∴OE= BF=5，OH=5﹣1=4，

∴Rt△OHE中，cos∠EOA= ，

∴Rt△EOA中，cos∠EOA= = ，

∴ = ，

∴OA= ，

∴AF= ﹣5=

【解析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连结DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的外接圆与外心的相关知识，掌握过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，以及对切线的判定定理的理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．