Question

【题目】如图所示，抛物线y=ax2﹣ x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x﹣2于点C，且直线y=2x﹣2与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
（2）求点A关于直线y=2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2﹣ x+c，得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣ x．

当x=6时，y=2×6﹣2=10，

当y=0时，2x﹣2=0，解得x=1，

∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）

（2）

解：过点A′作AF⊥x轴于点F，

∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，

在Rt△ACD中，CD= =5 ，

∵点A与点A′关于直线y=2x﹣2对称，

∴∠AED=90°，

∴S△ADC= ×5 AE= ×5×10，

解得AE=2 ，

∴AA′=2AE=4 ，DE= = ，

∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，

∴△ADE∽△AA′F，

∴ = = ，

解得AF=4，A′F=8，

∴OF=8﹣6=2，

∴点A′坐标为（﹣2，4），

当x=﹣2时，y= ×4﹣ ×（﹣2）=4，

∴A′在抛物线上

（3）

解：∵点P在抛物线上，则点P（x， x2﹣ x），

设直线A′C的解析式为y=kx+b，

∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点，

∴ ，解得 ，

∴直线A′C的解析式为y= x+ ，

∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x， x+ ），

∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，

∴l=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x）=﹣ x2+ x+ ，

∴l与x的函数关系式为l=﹣ x2+ x+ ，（﹣2＜x≤6），

∵l=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，l的最大值为 ．

【解析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标．（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题．（3）设点P（x， x2﹣ x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查二次函数的综合题、待定系数法，最值问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的性质，学会构建二次函数解决问题最值问题，属于中考压轴题．
【考点精析】掌握二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．