Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△=64m2﹣4m（16m﹣1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴抛物线总与x轴有两个不同的交点

（2）解：根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根，

∴x1+x2=﹣ =8，x1x2= ，

∵|x1﹣x2|=2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，

∴82﹣4 =4，

∴m=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣8x+15

（3）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ =4，

∵抛物线开口向上，

∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，

∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，

∴m≥

【解析】（1）证明△＞0即可；（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，x1x2= ，再变形|x1﹣x2|=2得到（x1+x2）2﹣4x1x2=4，所以82﹣4 =4，然后解出m即可得到抛物线解析式；（3）先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．