Question

【题目】将△ABC的边AB绕点A顺时针旋转α得到AB′，边AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，α＋β=180°．连接B′C′，作△AB′C′的中线AD．

（初步感知）

（1）如图①，当∠BAC=90°，BC＝4时，AD的长为______；

（探索证明）

（2）如图②，△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明；

（应用延伸）

（3）如图③，已知等腰△ACB，AC=BC=m，延长AC到D，延长CB到E，使CD=CE=n,将△CED绕C顺时针旋转一周得到△CE′D′，连接BE′、AD′，若∠CBE′=90°，求AD′的长度（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）（2）AD=BC，理由见解析；（3）AD′=.

【解析】（1）首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）结论：AD=BC．如图，延长AD到E，使得DE=AD，连接B′E，C′E，首先证明四边形AC′EB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′E，即可解决问题；

（3）分情况进行讨论即可得.

（1）∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°，

∵AB=AB′，AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴AD=B′C′=BC==2，

故答案为：2；

（2）AD=BC，理由如下：

如图，延长AD至点E，使得DE=AD，

∵B′D=C′D，∴四边形AC′EB′为平行四边形，

∴B′E∥AC′，B′E=AC′=AC，∴∠AB′E＋∠B′AC′=180°，

∵α＋β=180°，∴∠BAC＋∠B′AC′=180°，∴∠AB′E=∠BAC，

∵AB′=AB，∴△AB′E≌△BAC，∴AE=BC，

∴AD=AE=BC；

（3）情况一：如图，过点C作△BCE′的中线CF，

在Rt△BCE′中，由勾股定理

得：；

∴BF=BE′=，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF===，

由（2）可知：AD′=；

情况二：如图，作△CBE′的中线CF并延长到G，使FG=CF，连接BG、E′G，

∵BF=E′F，CF=GF，∴四边形BCE′G为平行四边形，

∴BC=GE′，BC∥GE′，∵BC=AC，∴AC=GE′，

由旋转可知∠1=∠BCE′，∵∠1+∠ACD′=180°，∠GE′C+∠BCE′=180°，∴∠ACD′=∠GE′C，

∵CD′=E′C，∴△ACD′≌△GE′C，∴AD′=GC

由情况一可知：BE′=，AD′=．