Question

【题目】如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．

（1）若∠C=40°，求∠BAD的度数；

（2）若AC=5，DC=4，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）10°；（2）13.

【解析】

（1）已知EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质定理可得AE=EC，即可得∠EAF=∠C=40°， 再由三角形外角的性质可得∠AED=∠EAF+∠C=80°；已知AD⊥BC，BD=DE, 根据线段垂直平分线的性质定理可得AB=AE，所以∠B=∠AED=80°，由此即可求得∠BAE=20°；又因为AB=AE，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAD =∠BAE=10°；（2）由（1）得，AE=EC=AB，BD=DE,再由△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+BD+CD+AC=EC+DE+CD+AC=CD+CD+AC即可求得△ABC的周长．

（1）∵EF垂直平分AC，

∴AE=EC，

∴∠EAF=∠C=40°，

∴∠AED=∠EAF+∠C=80°；

∵AD⊥BC，BD=DE,

∴AB=AE，

∴∠B=∠AED=80°，

∴∠BAE=20°,

∵AB=AE，AD⊥BC，

∴∠BAD =∠BAE=10°；

（2）由（1）得，AE=EC=AB，BD=DE,

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+BD+CD+AC=EC+DE+CD+AC=CD+CD+AC=4+4+5=13.