Question

【题目】如图，在中，设的对边分别为，过点作，垂足为，会有，则

，即

同理，

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理：

在中，若的对边分别为，则

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图，在中，，的对边分别是3和8．

求和．

解：_______________；

______________．

（2）在中，已知，分别是以为边长的等边三角形，设的面积分别为，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）6，49；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；

（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；

方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．

试题解析：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，

∴EF=3，DF=8，

∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，

故答案为：6，49；

（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos60°=AC2+BC2﹣ACBC，

两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣ACBCsin60°，

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S1=ACBCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，

∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，

∴S1=absin∠C=absin60°=ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S2=ccsin60°=c2，S3=aasin60°=a2，S4=bbsin60°=b2，

∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），

∵c2=a2+b2﹣2abcos∠C=a2+b2﹣2abcos60°，

∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．