Question

【题目】如图，点是直线与的交点，点在上， 垂足为，与交于点，平分．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．

试题解析：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，

∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，

∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切线；

（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°，

∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2，

∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣．