【题目】如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限作等边．

（1）若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，当与相切时，点是否在（1）中反比例函数图象上，如果在，求出点坐标；如果不在，请加以说明．

参考答案：

【答案】（1）；（2）存在，（2，1）.

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；

（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．

试题解析：（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，

∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），

∵点C在反比例函数的图象上，∴k=2×=2，

∴反比例函数解析式为；

（2）∵P（2，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，

当△ADP∽△AOB时，则有，即，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；

当△PDA∽△AOB时，则有，即，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；

把P（2，3）代入可得，∴P（2，3）不在反比例函数图象上，

把P（2，1）代入反比例函数解析式得，∴P（2，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（2，1）．

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