Question

【题目】数学活动 实验、猜想与证明

问题情境

（1）数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．

解决问题

（2）小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；

（3）小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）MD=MC；（2）证明见解析；（3）∠BME=3∠AEM，证明见解析

【解析】

（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS证出△AMD≌△BMC，即可得出结论；

（2）根据平行四边形的判定证出四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形，利用平行线分线段成比例定理证出CF=EF，从而得出MN垂直平分CE，根据垂直平分线的性质即可证出结论；

（3）根据平行四边形的性质可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根据平行线的性质、三线合一和等边对等角证出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，从而证出结论．

解：（1）MD=MC

∵四边形ABCD为矩形

∴AD=BC，∠A=∠B=90°

∵点M为AB的中点

∴AM=BM

在△AMD和△BMC中

∴△AMD≌△BMC

∴MD=MC

（2）∵M，N分别是AB，CD的中点，

∴AM=BM，CN=DN

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB∥CD，AB=CD

∴AM=BM= CN=DN

∴四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形

∴AD∥MN

∴

∴CF=EF

∵CE⊥AD

∴CE⊥MN

∴MN垂直平分CE

∴ME = MC

（3）∠BME=3∠AEM，证明如下：

∵四边形AMND和四边形MBCN为平行四边形

∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC

∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC

∵AB=2BC，AB=CD=2CF

∴CF=MN

∴∠NCM=∠NMC

∴∠BMC=∠NMC

∵ME = MC，MF⊥CE

∴∠EMF=∠NMC

∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM

即∠BME=3∠AEM