Question

【题目】已知：如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（ 1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E． 求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短。若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由。

Answer 1

【答案】(1) y= x2+2x+3;(2)6；（3）存在，P（1,2），理由见解析

【解析】试题分析：（1）把A点和B点坐标分别代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）通过解方程-x2+2x+3=0得到E点坐标，再把一般式配成顶点式得到D点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ODE的面积；连接BE交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P点坐标．

试题解析：

（1）根据题意得

，解得

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，则E（3，0）；
y=-（x-1）2+4，则D（1，4），
∴S△ODE=×3×4=6；
连接BE交直线x=1于点P，如图，则PA=PE，
∴PA+PB=PE+PB=BE，
此时PA+PB的值最小，
易得直线BE的解析式为y=-x+3．，
当x=1时，y=-x+3=3，
∴P（1，2）．