Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O．
（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∵AC的垂直平分线EF，

∴AO=OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE=OF，

∵O A=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形

（2）解：设AF=acm，

∵四边形AECF是菱形，

∴AF=CF=acm，

∵BC=8cm，

∴BF=（8﹣a）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2=a2，

解得：a=5，

即AF=5cm

【解析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠AEO=∠CFO，根据全等三角形的判定得出△AEO≌△CFO，根据全等三角形的性质得出OE=OF，根据菱形的判定推出即可；（2）设AF=acm，根据菱形的性质得出AF=CF=acm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出42+（8﹣a）2=a2 ， 求出a即可．
【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质的相关知识点，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．