Question

【题目】将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）．点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图②，在图①的基础上将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD=AD=BD= AB，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，

∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°

（2）解：∵∠EDF=90°，

∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，

∴∠PDM=∠CDN，

∵∠B=60°，BD=CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD=60°，

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，

∴∠CPD=∠BCD，

在△DPM和△DCN中，

，

∴△DPM∽△DCN，

∴ ．

【解析】（1）首先证明∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC﹣∠EDF计算即可得解；（2）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．