Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，

由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，

= × ﹣

= ×（10+2）×8﹣ ×10×4﹣

=24（cm2）

（2）解：①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，

此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，

S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

= ×（EB+CG）BC﹣ EBBF﹣ FCCG

= ×8×（12﹣2t+2t）﹣ ×4t（12﹣2t）﹣ ×2t（8﹣4t）

=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．

②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4，

当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t，

FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，

S= FGBC= （8﹣2t）8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32（2＜t＜4）

（3）解：如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，

① 若 ，即 = ，

解得t= ．

所以当t= 时，△EBF∽△FCG，

②若 即 = ，解得t= ．

所以当t= 时，△EBF∽△GCF．

综上所述，当t= 或t= 时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．

【解析】（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【考点精析】本题主要考查了三角形的面积和矩形的性质的相关知识点，需要掌握三角形的面积=1/2×底×高；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．