Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．易证：CE=CF．

（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE，BE，GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：
①如图2，在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD=α，∠ECG=β，试探索当α和β满足什么关系时，图1中GE，BE，GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．
②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．

Answer 1

【答案】
（1）

解：GE=BE+GD，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，F是AD延长线上一点，

∴BC=DC，∠FDC=∠EBC=90°，

在△EBC和△FDC中， ，

∴△EBC≌△FDC（SAS），

∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，

∵∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，

∴∠DCG+∠DCF=45°，

∴∠ECG=∠FCG，

在△ECG和△FCG中， ，

∴△ECG≌△FCG（SAS），

∴EG=GF，

∴GE=BE+GD

（2）

解：①α=2β时，GE=BE+GD；理由如下：

延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，如图（2）所示：

∵∠B=∠D=90°，

∴∠B=∠FDC=90°，

在△EBC和△FDC中， ，

∴△EBC≌△FDC（SAS），

∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，

∴∠BCE+∠DCG=∠GCF，

当α=2β时，∠ECG=∠FCG，

在△ECG和△FCG中， ，

∴△ECG≌△FCG（SAS），

∴EG=GF，

∴GE=BE+GD；

②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化；

延长BA交y轴于E点，如图（3）所示：

则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．

在△OAE和△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（ASA）．

∴OE=ON，AE=CN．

在△OME和△OMN中， ．

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．

∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．

【解析】（1）由SAS证得△EBC≌△FDC，再由SAS证得△ECG≌△FCG，可得到EG=FG，即可得出结果；（2）①延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，结合条件可证得△ECG≌△FCG，故EG=GF，可得出结论；②延长BA交y轴于E点，可证得△OAE≌△OCN，进一步可证得△OME≌△OMN，可求得MN=AM+AE