Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2 ．
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x1＜0，x2＜0；
（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OAOB﹣3，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，

即﹣12k+5＞0

∴ ．

（2）解：∵ ，

∴x1＜0，x2＜0．

（3）解：依题意，不妨设A（x1，0），B（x2，0）．

∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），

OAOB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，

∵OA+OB=2OAOB﹣3，

∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，

解得k1=1，k2=﹣2．

∵ ，

∴k=﹣2．

【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；（2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于0，且两根的积大于0即可；（3）不妨设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．利用x1 ， x2表示出OA、OB的长，则根据根与系数的关系，以及OA+OB=2OAOB﹣3即可列方程求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解求根公式(根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根)，还要掌握根与系数的关系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商)的相关知识才是答题的关键．