Question

【题目】已知在线段AB上有一点C（点C不与A、B重合且AC＞BC），分别以AC、BC为边作正方形ACED和正方形BCFG，其中点F在边CE上，连接AG．

（1）如图1，若AC=7，BC=5，则AG=______；

（2）如图2，若点C是线段AB的三等分点，连接AE、EG，求证：△AEG是直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）见解析

【解析】

（1）由正方形的性质得出∠B=90°，BG=BC=5，则AB=AC+BC=12，由勾股定理即可得出结果；

（2）设BC=a，由正方形的性质和点C是线段AB的三等分点得出AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°，由勾股定理得出AE2=AC2+CE2=8a2，AG2=AB2+BG2=10a2，EG2=EF2+FG2=2a2，证得AG2=AE2+EG2，即可得出结论．

（1）解：∵四边形BCFG是正方形，

∴∠B=90°，BG=BC=5，

∵AB=AC+BC=7+5=12，

∴AG===13，

故答案为：13；

（2）证明：设BC=a，

∵四边形ACED和四边形BCFG都是正方形，点C是线段AB的三等分点，

∴AC=CE=2BC=2CF=2a，BC=BG=FG=CF=EF=a，∠B=∠ACE=∠EFG=∠EFG=90°，

∴AE2=AC2+CE2=8a2，

AB=3BC=3a，

AG2=AB2+BG2=9a2+a2=10a2，

EG2=EF2+FG2=a2+a2=2a2，

∴AE2+EG2=8a2+2a2=10a2，

∴AG2=AE2+EG2，

∴△AEG是直角三角形．