Question

【题目】如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．

(1)求证：CM＝CN；

(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，ND＝1．

①求MC的长．

②求MN的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①MC＝3；②MN=2.

【解析】

（1）根据折叠可得∠AMN=∠CMN，再根据平行可得∠ANM=∠CMN，可证CM=CN
（2）①根据等高的两个三角形的面积比等于边的比，可求MC的长．
②作NF⊥MC，可得矩形NFCD，根据勾股定理可求CD，则可得NF，MF，再根据勾股定理可求MN的长．

解：(1)∵折叠

∴CM＝AM，CN＝AN，∠AMN＝∠CMN

∵ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠ANM＝∠CMN

∴∠ANM＝∠AMN

∴CM＝CN

(2)①∵AD∥BC

∴△CMN和△CDN是等高的两个三角形

∴S△CMN：S△CDN＝3：1＝CM：DN且DN＝1

∴MC＝3

②∵CM＝CN

∴CN＝3且DN＝1

∴根据勾股定理 CD＝2

如图作NF⊥MC

∵NF⊥MC，∠D＝∠DCB＝90°

∴NFCD是矩形

∴NF＝CD＝2，FC＝DN＝1

∴MF＝2

在Rt△MNF中，MN＝＝2