【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(0，3)，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°.若第二象限内有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．

(1)求直线AB的函数表达式．

(2)求a的值．

(3)在x轴上是否存在一点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）y＝－x＋3；(2) a＝－5；(3) 存在点M(－1，0)或(9，0)或(10，0)或（，0），使△MAC为等腰三角形．

【解析】设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，把点A(4，0)，B(0，3)代入，用待定系数法求解即可；

（2）利用勾股定理求出AB的长，从而求出△ABC的面积；过点P作PD⊥x轴于点D，根据S△ABP＝S梯形PDOB＋S△AOB－S△APD列式求解即可；

（3）分①当以点A为顶点时，②当以点C为顶点时，③当以点M为顶点时三种情况求解.

(1)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．由题意，得

，解得

∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3.

(2)如解图，过点P作PD⊥x轴于点D.

易得BO＝3，AO＝4，

∴AB＝＝5.

∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，

∴S△ABC＝.

∵点P（a，）且在第二象限，

∴PD＝，OD＝－a，

∴S△ABP＝S梯形PDOB＋S△AOB－S△APD

＝＋×3×4－×(4－a)×＝－a＋5，

∴－a＋5＝，解得a＝－5.

(3)存在．

如解图，分三种情况讨论：

①当以点A为顶点时，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交x轴于点M1，M2，

易知AM1＝AM2＝AC＝5，

∴点M1(－1，0)，M2(9，0)．

②当以点C为顶点时，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交x轴于点M3，过点C作CE⊥x轴于点E.

易知△AOB≌△CEA≌△CEM3，

∴EM3＝AE＝BO＝3，CE＝AO＝4，

∴点M3(10，0)．

③当以点M为顶点时，作AC的中垂线交x轴于点M4.

易得点C(7，4)，

又∵点A(4，0)，

∴AC的中点坐标为（，0）.

易知AB平行于AC的中垂线，故可设AC中垂线的函数表达式为y＝－x＋b.

由题意，得－×＋b＝2，解得b＝，

∴AC中垂线的函数表达式为y＝－x＋.

令y＝0，得x＝，

∴点M4（，0）.

综上所述，存在点M(－1，0)或(9，0)或(10，0)或，使△MAC为等腰三角形．

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