Question

【题目】设函数f（x）= ，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x2+y2+2x+2y在D上的最小值为 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：当x＞0时，f′（x）= ， 则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，
D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．

而z=x2+y2+2x+2y=（x+1）2+（y+1）2﹣2，
表示以（﹣1，﹣1）为圆心，以（﹣1，﹣1）与阴影部分内的点为半径的平方再减2，
显然（﹣1，﹣1）到直线AC的距离最小，
由C（﹣ ，0），A（0，﹣1）得AC的方程是：2x+y+1=0，
此时，r=d= = ，r2= ，
故z的最小值是 ﹣2=﹣ ，
所以答案是：﹣ ．