Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x﹣5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．

（1）求点A和点C的坐标；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x=0时，y=﹣5，

当y=0时，5x﹣5=0，

解得，x=1，

则点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣5），

则点C的坐标（0，5）

（2）解：由题意得， ，

解得，a=1，b=﹣6，c=5，

则抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5

（3）解：设点P的坐标为（x，0），

y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，

则点D的坐标为（3，﹣4），

由题意得， ×|x﹣1|×4=6，

解得，x=﹣2或4，

则点P的坐标为（﹣2，0）或（4，0）

【解析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A和点B的坐标，根据中心对称的性质求出点C的坐标；（2）利用待定系数法求出抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）利用二次函数的性质求出点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【考点精析】关于本题考查的抛物线与坐标轴的交点，需要了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能得出正确答案．