Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．

（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结CE．

∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

∴CE= AB=AE．

∵△ACD是等边三角形，

∴AD=CD．

在△ADE与△CDE中， ，

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE=30°．

∵∠DCB=150°，

∴∠EDC+∠DCB=180°．

∴DE∥CB．

（2）解：当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，

理由：∵AC= AB，∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∵∠DCB=150°，

∴∠DCB+∠B=180°，

∴DC∥BE，又∵DE∥BC，

∴四边形DCBE是平行四边形．

【解析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；（2）当AC= AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出DC∥BE，进而得到四边形DCBE是平行四边形．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形才能正确解答此题．