Question

【题目】在正方形ABCD中，DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，点G在线段AD上，过点G作PG⊥DE于点P，连接CP，过点D作DQ⊥PC于点Q，交射线PG于点H．

（1）如图1，若点G与点A重合．
①依题意补全图1；
②判断DH与PC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若点H恰好在线段AB上，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①依题意补全图1，如图1所示：

②DH=PC，理由如下：

∵DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，

∴∠EDF=∠ADE=45°，

∵PG⊥DE于点P，

∴∠DAP=45°，

∴∠HAD=135°，∠PDC=135°，

∴∠HAD=∠PDC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=CD，

∵DQ⊥PC，

∴∠CDQ+∠DCQ=90°，

∵∠ADQ+∠CDQ=90°，

∴∠ADQ=∠DCQ，

在△HAD和△PDC中，

，

∴△HAD≌△PDC（ASA），

∴DH=CP

（2）解：求DP长的思路如下：如图2所示：

a、与②同理得：∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，

∴△HGD∽△PDC；

b、由②可知△GPD为等腰直角三角形，

∴∠AGH=∠PGD=45°，

∴△AGH为等腰直角三角形，

设DP=PG=x，则GD= x，AG=1﹣ x，GH= ﹣2x；

c、由△HGD∽△PDC得： ，

即 ，

解得：x= （负值舍去），

∴DP=

【解析】（1）①依题意补全图形即可。
②由正方形的性质和角平分线得出∠EDF=∠ADE=45°，再证出∠HAD=∠PDC，∠ADQ=∠DCQ，根据ASA证明△HAD≌△PDC，得出对应边相等即可。
（2）思路如下：a、与②同理可证∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，可证△HGD∽△PDC；b、由②可知△GPD为等腰直角三角形，根据已知条件易证△AGH为等腰直角三角形，可设DP=PG=x，用含x的代数式分别表示出GD、AG、GH的长。c、由△HGD∽△PDC得出比例式，解方程即可求得DP的长。
【考点精析】掌握角的平分线和正方形的性质是解答本题的根本，需要知道从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．