Question

【题目】一、阅读理解：

在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；

（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；

（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；

（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．

二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．

Answer 1

【答案】一、（1）a2+b2=c2；（2）a2+b2＞c2；（3）a2+b2＜c2；

二、5＜c＜7或1＜c＜．

【解析】

试题分析：一、（1）由勾股定理即可得出结论；

（2）作AD⊥BC于D，则BD=BC﹣CD=a﹣CD，由勾股定理得出AB2﹣BD2=AD2，AC2﹣CD2=AD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理得出a2+b2=c2+2aCD，即可得出结论；

（3）作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2﹣CD2，得出AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，整理即可得出结论；

二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，即可得出结果．

试题解析：一、解：（1）∵∠C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，

∴a2+b2=c2；

（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：

则BD=BC﹣CD=a﹣CD，

在△ABD中，AB2﹣BD2=AD2，

在△ACD中，AC2﹣CD2=AD2，

∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

∴c2﹣（a﹣CD）2=b2﹣CD2，

整理得：a2+b2=c2+2aCD，

∵a＞0，CD＞0，

∴a2+b2＞c2；

（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：

则BD=BC+CD=a+CD，

在△ABD中，AD2=AB2=BD2，

在△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

∴c2﹣（a+CD）2=b2﹣CD2，

整理得：a2+b2=c2﹣2aCD，

∵a＞0，CD＞0，

∴a2+b2＜c2；

二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：＜c＜a+b，

即5＜c＜7；

当∠B为钝角时，得：b﹣a＜c＜，

即1＜c＜；

综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜．